Örnek Varyansı ile Popülasyon Varyansı Arasındaki Fark Nedir, Detaylı Açıklama

İstatistikte, varyans bir veri kümesindeki değerlerin ortalamadan ne kadar uzaklaştığını gösteren bir ölçüdür. Popülasyon varyansı, tüm popülasyonun verileri kullanılarak hesaplanırken, örneklem varyansı ise popülasyonun sadece bir kısmı olan örneklem verileri kullanılarak hesaplanır. İkisi arasındaki temel fark, örneklem varyansında “n-1” ile bölünmesi gerektiğidir. Bu, örneklem verilerinin popülasyonu tam olarak temsil etmeyebileceği gerçeğini hesaba katmak için yapılan bir düzeltmedir.

Varyans Nedir?

Veri kümesindeki değerlerin ortalamadan ne kadar yayıldığını gösteren bir istatistiksel ölçüdür.
Varyansın yüksek olması, değerlerin ortalamadan daha uzakta olduğu anlamına gelir.
Varyansın düşük olması ise değerlerin ortalamaya daha yakın olduğu anlamına gelir.

Popülasyon Varyansı

Tüm popülasyonun verileri kullanılarak hesaplanır.
Formül: σ² = Σ(xi – μ)² / N
σ²: Popülasyon varyansı
xi: i’inci veri değeri
μ: Popülasyon ortalaması
N: Popülasyon büyüklüğü
Örneklem Varyansı:

Popülasyonun bir kısmı olan örneklem verileri kullanılarak hesaplanır.
Formül: s² = Σ(xi – x̄)² / (n – 1)
s²: Örneklem varyansı
xi: i’inci veri değeri
x̄: Örneklem ortalaması
n: Örneklem büyüklüğü
(n-1) ile Bölmenin Nedeni:

Örneklem, popülasyonun tam bir temsili olmadığından, örneklem ortalaması popülasyon ortalamasından biraz farklı olabilir.
Bu nedenle, örneklem varyansını hesaplarken, popülasyon varyansını daha iyi tahmin edebilmek için “n-1” ile bölünür. Bu, Bessel’in düzeltmesi olarak bilinir.

Popülasyon hakkında çıkarımlar yapmak için genellikle örneklem verileri kullanılır.
Örneklem varyansı, popülasyon varyansı hakkında tahminler yapmamıza izin verir.
Bu bilgi, istatistiksel testler ve modelleme gibi birçok alanda kullanılır.
Örnek:

Tüm öğrencilerin boy uzunlukları bir popülasyonu temsil eder.
Belirli bir sınıftaki öğrencilerin boy uzunlukları ise bu popülasyonun bir örneğini oluşturur.
Tüm öğrencilerin boy uzunluklarının varyansını hesaplamak için popülasyon varyansı formülü, sınıftaki öğrencilerin boy uzunluklarının varyansını hesaplamak için ise örneklem varyansı formülü kullanılır.

Popülasyon varyansı ve örneklem varyansı arasındaki temel fark, hesaplamada kullanılan verilerin ve kullanılan formülün farklı olmasıdır. Örneklem varyansı, popülasyon varyansını tahmin etmek için kullanılan önemli bir istatistiksel ölçüdür.